Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Пифагоров строй, основанный на чистых квинтах, – один из примеров строя, называемого натуральным или чистым, в котором частоты нот соотносятся как довольно небольшие целые числа. Если взять, например, гамму до мажор, разделить ее на восемь ступеней разной высоты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до) и присвоить тонике, или основному тону, до, соотношение 1: 1, а пятой ступени, соль, соотношение 3: 2, то в пифагоровом строе частоты нот, расположенных выше ноты до, будут относиться к ее частоте следующим образом: ре – 9: 8, ми – 81: 64, фа – 4: 3, соль – 3: 2, ля – 27: 16, си – 243: 128, до (следующей октавы) – 2: 1. Такая система прекрасно работает, если оставаться все время в той же тональности или использовать гибкий музыкальный инструмент – например, человеческий голос, – способный интонационно подстраиваться на ходу. Проблемы с любым из натуральных строев возникают при использовании таких инструментов, как фортепиано, которые, будучи настроены определенным образом, могут производить звуки только с фиксированными частотами.

Вырваться за рамки жестких ограничений пифагорова строя пытались композиторы и музыканты и до Кеплера. Но именно в его время были сделаны, по крайней мере в Европе, первые серьезные шаги в направлении полного отказа от натурального строя. Одним из пионеров этого движения стал отец Галилео Галилея Винченцо, выступавший за использование двенадцатиступенной системы, получившей название “равномерно темперированный строй”. В этой системе все соседние ноты разделены одинаковыми интервалами, то есть имеют одно и то же соотношение частот. В разделенном на двенадцать полутонов звукоряде частота каждой следующей ступени увеличивается в 2^1/12, или 1,059463, раза. Представьте себе, например, звукоряд, начинающийся с ноты ля первой октавы. Ее частота, служащая эталоном при настройке современных оркестров, – 440 герц (колебаний в секунду). Следующая нота, повыше, – ля-диез, ее частота равна 440 × 1,059463, или примерно 466,2 герца. Двенадцатью полутонами выше находится ля следующей октавы с частотой 440 × 1,059463¹² = 880 герц, то есть вдвое большей, чем у начальной ноты.

При таком построении ни один из тонов двенадцатиступенного равномерно темперированного строя, кроме тоники и октавы, по частоте не совпадает в точности с соответствующими нотами натурального строя, хотя кварты и квинты так близки к “натуральным”, что на слух их почти невозможно различить. Равномерно темперированный строй – компромисс: его ноты звучат не так чисто, как в натуральном строе, но огромное его преимущество в том, что исполняемая музыка звучит вполне гармонично в любой тональности без перенастройки инструментов. Благодаря ему такие инструменты, как фортепиано, приобрели некую практичность и музыкальную гибкость, а в музыкальной композиции и оркестровке открылись новые горизонты.

Сегодня в западной музыке царствует двенадцатиступенная равномерная темперация. Но в других частях света сложились иные музыкальные строи – отчасти именно поэтому столь экзотично для нашего западного слуха звучит музыка Азии и Ближнего Востока. Арабская музыка, например, основана на двадцатичетырехступенном темперированном строе, а потому в ней активно используются интервалы в четверть тона. При этом в каждом отдельно взятом произведении фигурирует лишь малая часть из двадцати четырех тонов, которая определяется “макамом”, то есть типом мелодии, – аналогично западным пьесам, в которых из двенадцати тонов обычно используется не больше семи, в зависимости от тональности произведения. Как и в индийской раге и других незападных музыкальных формах, здесь существуют строгие правила, регламентирующие – даже в самой затейливой и затяжной импровизации – такие аспекты, как выбор нот, соотношения между ними, нотный рисунок и последовательность тонов в мелодии.

С самого раннего возраста наш мозг привыкает к музыке, звучащей вокруг нас, как привыкает и к родному языку, вкусу знакомой пищи, укладу и образу жизни окружающих нас людей. Музыка других культур может показаться необычной и удивлять, и все же, как правило, она приятна для слуха. К непривычному строю, интервалам, ритму и структуре композиций не сразу можно привыкнуть, но мы почти всегда безошибочно определяем их как музыку. Это происходит потому, что и в их основе лежат определенные акустические закономерности, сводимые к относительно простым математическим соотношениям, которые и руководят такими элементами музыкального языка, как мелодия, гармония и темп.

Универсально или нет само понятие музыки – вопрос спорный. Даже на Западе многочисленные новаторские поиски и эксперименты со звуком, которыми отмечено особенно последнее столетие, значительно расширили границы того, что может считаться музыкой. Например, возникла атональная музыка, в которой отсутствует привычный тональный центр, а также экспериментальная – сознательно ломающая сложившиеся правила композиции, настройки и инструментовки. Одним из пионеров экспериментальной музыки был американский композитор и философ Джон Кейдж, чья пьеса “4’33’’” представляет собой трехчастную композицию, в течение которой исполнитель (например, пианист) или исполнители (вплоть до симфонического оркестра в полном составе) не извлекают ни единого звука. На всем протяжении пьесы публика в зале слышит лишь случайные звуки – чье-то покашливание, скрип кресла, внешние шумы. На сочинение этой пьесы Кейджа вдохновило посещение безэховой камеры в Гарвардском университете, он записал тогда: “Не существует ни пустого пространства, ни ничем не заполненного времени. Всегда есть нечто, что можно увидеть или услышать. Более того, сколько бы мы ни пытались создать тишину, ничего у нас не выйдет”. Кейдж написал пьесу “4’33’’” как серьезное произведение, но (как, наверное, и следовало ожидать) многие восприняли ее иронически. Мартин Гарднер писал в своем эссе “Ничто”: “Я сам не слышал этой композиции, но друзья говорили мне, что это лучшее из произведений Кейджа”^[30].

Какое бы определение мы ни дали музыке, ее нельзя считать привилегией человека. Многие другие существа издают звуки, которые воспринимаются нами как музыкальные, и на первом месте – птицы и киты. Виртуозами изящного пения в животном мире по праву считаются певчие птицы, которых известно больше 4000 видов; среди них такие семейства, как жаворонковые, воробьиные, дроздовые и пересмешниковые. Поют обычно самцы – чтобы привлечь самок или обозначить границы своей территории, часто объединяя две эти цели. Самцы камышовок-барсучков, зимующих в Сахаре, возвращаются весной в Европу на несколько дней раньше самок, поэтому поют и днем и ночью – ведь потенциальная партнерша может прилететь в любой момент, да и территорию надо обозначить и защитить, – а найдя пару, тут же умолкают. У каждого вида певчих птиц своя особая песня – одна на всех, хотя отдельные особи различают голоса друг друга, так же как человек различает голоса других людей, даже если те напевают одну и ту же мелодию. Особи некоторых видов певчих птиц, например зябликов, имеют репертуар, состоящий из нескольких “фраз”. Стоит одному зяблику спеть какую-нибудь фразу, как его сосед тут же откликается аналогичным пассажем – своего рода эхом. Предполагают, что таким образом певцы оценивают разделяющее их расстояние.