Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

И вот спрашивается: если категория ставшего приводит нас к понятию инвариантности, то не имеет ли ближайшее отношение к этому последнему и теория детерминантов и матриц, которая тоже ведь возникла на диалектической категории ставшего?

b) Пожалуй, несколько удивляет то обстоятельство, что теория инвариантов сравнительно слабо связана с детерминантами и матрицами или что, по крайней мере, эта связь не выдвигается на подобающее место. Нужно прямо сказать, что с диалектической точки зрения связь инвариантов с детерминантами и матрицами самая непосредственная, как бы математики ни сводили эту связь на удобство вычислительных схем. Если не входить в подробности, изложенные выше, а взять самый общий признак детерминанта, то ведь это есть совмещение двух слоев – количественно-смыслового и фактически полагающего. Но как раз это совмещение и обусловливает собою указанную выше категорию инвариантности. Самое суждение об инвариантности делается возможным только в то мгновение, когда смысл, перешедший в становление и фактическое осуществление, вдруг остановился и, перейдя в ставшее, в факт, превратился в ту устойчивость, на фоне которой стало доступно судить об изменяющихся моментах. Детерминант и матрица суть именно такие диалектические формы с двойным накладыванием; в них определенное число или система чисел даны как осуществленные при помощи системы чисел, т.е. уже в самом их понятии заложена некоторая инвариантность: неизменное число, являющееся детерминантом, осуществлено в результате некоей процедуры комбинирования чисел, являясь неизменным среди изменчивого. Но тут, в детерминанте и матрице, это отношение неизменного и изменяемого дано только в категориальном виде, т.е. в фиксированном, в застывшем виде, так что изменяемые элементы даны здесь не в процессе своего изменения, но в устойчивом результате этого изменения.

Отсюда само собой делается понятным то, что инвариантная значимость детерминанта и матрицы выяснится только тогда, когда мы заставим их функционировать в какой-нибудь иноприродной среде и посмотрим, как меняется структура и числовое значение этих математических образований в зависимости от воздействия этой среды.

5.

Два-три примера из этой области будут нелишними.

a) Популярнее всего здесь учение о т.н. линейной зависимости и линейном преобразовании. Линейная зависимость есть не что иное, как обобщение понятия о пропорциональности. Линейным же преобразованием с n переменными называется преобразование такого типа:

x1′ = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

x2′ = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

…

xn′ = an1x1 + an2x2 + … + anmxn

Эти (x1, … xn) мы можем понимать, во-первых, как разные измерения n-мерного пространства, так что указанное преобразование будет говорить о переходе одного вектора данного пространства в другой вектор того же пространства. Эти же переменные, далее, можно понимать как координаты точки того же пространства n измерений, так что наше преобразование есть переход от одной точки к другой. Можно, в-третьих, считать, что переменные являются компонентами одного и того же вектора при разной системе координат. Тогда наше преобразование есть преобразование самих координат.

Спросим себя: каково то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы m систем с n постоянными находились между собою в линейной зависимости. Оказывается, что в случае когда m ≤ n, то m систем с n постоянными только тогда линейно зависимы, когда все определители m-го порядка матрицы

||x11 x12 … x1n||

||x21 x22 … x2n||

…

||xm1 xm2 … xmn||

равны нулю. Мы не будем отвлекаться доказательством этой теоремы, как оно ни просто, но отметим этот удивительный факт, который, к сожалению, всегда понимается слишком количественно и, так сказать, вычислительно: матрица со своими детерминантами явилась здесь некоторым инвариантом, потому что эти (x1, … xn) могли ведь иметь какое угодно значение, но раз составленные из них системы линейно зависимы, то определенная комбинация их всегда равна нулю. Опуская случай m > n (так как здесь системы будут всегда линейно зависимы), укажем на то, что линейная зависимость имеет и вполне реальный количественный смысл, так что указанное матричное условие определяет собою и некоторые геометрические инварианты. Напр., две точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они совпадают; три точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они лежат на одной прямой; четыре точки – если они лежат на одной плоскости; пять и более точек всегда линейно зависимы. Везде тут будут иметь значение указанная матрица и ее детерминанты.

Если теперь обратиться к линейному преобразованию и обычным порядком составить квадратную таблицу коэффициентов той системы уравнений, которой определяется преобразование (называя ее матрицей преобразования), то окажется, что сумма квадратов элементов каждой строки и столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю. Пусть у нас матрица третьего порядка, и пусть ее элементы суть косинусы углов, образованных новыми осями со старыми. Тогда соответственно мы получаем некоторый инвариант при координатных преобразованиях. Допустим, что координаты неподвижны, а движется само пространство как целое. Тогда это преобразование будет определяться все теми же тремя уравнениями и соответствующим определителем (+1). Определитель (–1) будет указывать не только на движение, но и на симметрию относительно начала. Очень важна тут еще и такая теорема: если от переменных x к переменным x′ переходим [с] помощью линейного преобразования с матрицей a и далее к x′′ с матрицей b, то x′′ можно и прямо получить из x при помощи линейного преобразования с матрицей ba. Как видим, параллелизм между линейными преобразованиями и матрицами идет очень далеко.

Можно показать, что если под инвариантом понимать только рациональные функции координат и коэффициентов (при однородности тех и других), то в этих функциях всегда будет общий множитель, зависящий только от коэффициентов подстановки и всегда являющийся той или другой степенью определителя подстановки. Такие инварианты, как известно, называются относительными, а показатель упомянутой степени носит название веса инварианта. Задаваясь вопросом о нахождении всех таких инвариантов, мы опять сталкиваемся с детерминантами. Пусть, напр., на плоскости имеется несколько точек. Оказывается, что простейшие инварианты в этом случае можно получить при помощи детерминантов второго порядка, составленных из заданных координат этих точек. Эти детерминанты дают и полную систему инвариантов.

Обладая двумя точками на плоскости: 1, 2, мы получаем основной инвариант в