Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».

Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.

Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм^[199] западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.

Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?

Две игральные кости

Сыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что одна чем-то лучше другой. Они одинаковые.

Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.

Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?

Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.

Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.

Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15 против 21, а шансы на победу B равны 21 против 15. Вероятность того, что выиграет A, равна 15/36 (или 42 %), вероятность того, что выиграет B, равна 21/36 (или 58 %).