Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

(А109 461) 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Мерсенн был дельным математиком, однако его список — по большей части плод угадывания. Число 2²⁵⁷ - 1 состоит из 78 цифр — определенно слишком много для проверки человеческими силами на предмет того, простое оно или нет. Мерсенн осознавал, что его числа — это стрельба наугад. Он говорил о своем списке: «Всего времени не хватит, дабы определить, простые ли они».

Но одному математику времени тем не менее все-таки хватило, — такое нередко бывает в науке. В 1876 году, через два с половиной столетия после того, как Мерсенн предложил свой список, французский специалист по теории чисел Эдуар Люка изобрел метод, позволяющий проверить, являются ли числа вида 2ⁿ - 1 простыми, и выяснил, что Мерсенн был не прав по поводу числа 67 и, кроме того, он пропустил числа 61, 89 и 107. Потрясающе, однако, что Мерсенн оказался прав насчет числа 127. Люка применил свой метод для доказательства того, что число 2¹²⁷ - 1 (то есть 170 141 183 460 4 69 231 731 687 303 715 884 105 727) — простое. Оно оставалось самым большим известным простым числом до наступления века компьютеров. Люка, однако, не смог определить, простое или нет число 2²⁵⁷ - 1 — оно было слишком большим для ручных вычислений.

Несмотря на отдельные ошибки, список Мерсенна обессмертил своего создателя; простые числа вида 2ⁿ - 1 в наше время известны как простые числа Мерсенна.

* * *

Дабы выяснить, простое или нет число 2²⁵⁷ - 1, пришлось дожидаться наступления 1952 года. Для доказательства был использован метод Люка, правда при существенной поддержке. В том году в Институте численного анализа в Лос-Анджелесе собралась команда ученых. Они наблюдали за 24-футовыми барабанами с магнитной лентой, вводившейся в один из первых цифровых компьютеров, который назывался SWAC. Один только этот процесс занял несколько минут. Затем оператор ввел число, которое предстояло проверить: 257. Через долю секунды появился результат. Компьютер сообщил, что число 2²⁵⁷ - 1 — не простое.

Вечером того же дня, когда было получено, что число 2²⁵⁷ - 1 — не простое, в вычислительную машину один за другим были введены новые претенденты на право занять место в списке Мерсенна. SWAC отказал первым 42 из них. И только в 10 вечера появился результат: компьютер сообщил, что число 2⁵²¹ - 1 — простое. Это число было наибольшим из простых чисел Мерсенна, выявленным за 75 лет, что, кстати, давало и соответствующее совершенное число 2⁵²⁰(2⁵²¹ - 1) — всего лишь тринадцатое открытое за чуть ли не вдвое большее число столетий. Но число 2⁵²¹ - 1 только два часа наслаждалось своим статусом старшего в колоде. Незадолго до полуночи SWAC подтвердил, что число 2⁶⁰⁷ - 1 тоже простое. За последующие несколько месяцев SWAC, работая на пределе своих возможностей, нашел еще три простых числа. 17 простых чисел Мерсенна были открыты в период с 1957 по 1996 год.