Значимые фигуры - Йен Стюарт

Предположим, в частности, что сечение представляет собой диск, шар или аналогичную фигуру с бо́льшим числом измерений и что мы можем показать, что образ сечения, полученный в результате преобразования Пуанкаре, укладывается внутрь того же сечения. Тогда мы можем воспользоваться топологической теоремой, известной как теорема Брауэра о неподвижной точке, и заключить, что какая-то неподвижная точка в этой системе должна существовать; это будет означать, что дифференциальное уравнение имеет периодическое решение, проходящее через данное сечение. Пуанкаре предложил целый ряд подобных методик и сформулировал общую гипотезу о долговременном поведении траекторий (решений) для дифференциальных уравнений с двумя переменными. А именно: траектория может сойтись к точке, к замкнутой петле или к гетероклинному циклу – петле, образованной траекториями, которые соединяют между собой конечное число неподвижных точек. Эту гипотезу доказал в 1901 г. Ивар Бендиксон, и результат теперь известен как теорема Пуанкаре – Бендиксона.

* * *

Вывод Пуанкаре о том, что топологические методы позволяют сделать глубокие выводы о решениях дифференциальных уравнений даже в тех случаях, когда формул для этих решений не существует, составляет основу сегодняшнего подхода к нелинейной динамике, которая находит применение едва ли не во всех областях естественных наук. Этот вывод привел Пуанкаре к еще одному эпическому открытию: он открыл хаос, ставший одним из крупнейших триумфов топологической динамики. Контекстом для этого открытия было движение нескольких тел под действием Ньютоновой гравитации – иначе говоря, задача многих тел.

Иоганн Кеплер из наблюдений Марса заключил, что орбита одиночной планеты, обращающейся вокруг Солнца, представляет собой эллипс. Ньютон объяснил этот геометрический факт в рамках своего Закона всемирного тяготения: любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. В принципе, Ньютонов закон предсказывает движение любого числа взаимно притягивающихся тел, таких как планеты Солнечной системы. К несчастью, Закон всемирного тяготения не предсказывает движение тел непосредственно: он позволяет записать дифференциальное уравнение, решение которого дает положение тел в любой момент времени. Ньютон обнаружил, что для двух тел это уравнение решаемо, и результатом решения является Кеплеров эллипс. Но для трех и более тел никаких аккуратных решений подобного рода не просматривалось, и математикам, работавшим в области небесной механики, приходилось прибегать к особым приемам и приближениям.

В 1889 г. исполнилось 60 лет Оскару II, королю Швеции и Норвегии, которые в то время составляли единое государство. В честь юбилея король объявил приз за решение задачи многих тел; тему королю предложил Миттаг-Леффлер. Ответ следовало дать не в виде простой формулы, которой почти наверняка не существовало, но в виде сходящегося бесконечного ряда. Тогда, чтобы решить задачу со сколь угодно высокой точностью, достаточно было бы всего лишь вычислить нужное число членов ряда.

Пуанкаре решил поучаствовать в конкурсе – и выиграл приз, несмотря на то что его записка не решала задачу целиком. Он рассматривал только три тела и при этом считал, что два из них имеют равную массу и обращаются друг вокруг друга в диаметрально противоположных точках окружности, а третье имеет настолько малую массу, что не оказывает никакого действия на два более массивных тела. Его результаты доказывали, что в определенных обстоятельствах решений требуемого типа не существует. Система может иногда вести себя весьма необычным, неправильным образом, и ее геометрия выглядит так, будто кто-то случайно уронил на землю слабо смотанный моток веревки. Пуанкаре описал свое главное геометрическое открытие – как две значимые кривые, определяющие динамику системы, пересекаются одна с другой: