Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

в теории Рамсея. Однако они показали, что у задачи есть конечный ответ, и смогли дать для него оценку: это минимальное число измерений должно находиться между числом 6 и каким-то исполинским числовым монстром — неким конечным числом, превосходящим все, что мы когда-либо могли понять. Вопреки распространенному мнению, тот гигантский верхний предел, который они представили, — это не то, что мы сейчас называем числом Грэма[65]. То, что именуется сейчас числом Грэма, появилось шестью годами позже, в 1977 году, когда Рон общался с Мартином Гарднером. Математику требовался простой способ описать этот верхний предел для статьи Гарднера в Scientific American, поэтому он придумал нечто еще более грандиозное. В 1980 году это новое число попало в Книгу рекордов Гиннесса как «самое большое число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве». Но на самом деле оно никогда в доказательствах не использовалось.

Неважно. Я хочу шокировать вас, заставив задуматься о величине числа Грэма, которое он показал Гарднеру. Не беспокойтесь. Я не собираюсь заставлять вас думать о его десятичном представлении. Во всяком случае, пока. Сейчас мы сосредоточимся на гораздо более безопасном способе представления числа Грэма, использующем стрелочную нотацию Кнута. Она названа в честь американского специалиста по информатике Дональда Кнута, который изобрел ее в 1976 году. Кнут много писал о числах и вычислениях и известен тем, что предложил вознаграждение в размере 2,56 доллара любому, кто обнаружит ошибку в какой-либо из его книг[66]. Его стрелки обеспечат нам безопасный проход через страну больших чисел.

Начнем с умножения: что мы подразумеваем, когда пишем 3 × 4? Возможно, вы хотите сказать «двенадцать», но давайте немного поразмыслим. На самом деле, когда мы пишем 3 × 4, мы имеем в виду, что тройка сложена сама с собой четыре раза, то есть 3 + 3 + 3 + 3. В общем виде это выглядит так:

Иными словами, a сложено с собой b раз. Разложив его таким образом, мы видим, что умножение — это просто затейливый способ описать повторяющееся сложение. А что насчет повторяющегося умножения?

Математики называют это возведением в степень и обычно записывают так:

Теперь a умножено на себя b раз. Например:

33 = 3 × 3 × 3 = 27;

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Вероятно, вы называете эти штуки степенями. Впрочем, неважно, как вы их называете, — лишь бы понимали, что это означает. Скажем, Дональд Кнут предложил собственный способ записывать степени — он предпочитает использовать стрелку:

Примеры выше можно записать в виде 3 ↑ 3 = 27 и 3 ↑ 4 = 81.

Здесь мы могли бы остановиться, и большинство нормальных людей так и сделает, но мы — не нормальные. Давайте продолжим. Что будет, если вы займетесь повторяющимся возведением в степень? Такая операция называется тетрацией. Кнут записывает ее в виде двойной стрелки:

Здесь к числу a мы b раз применяем операцию стрелки. Иначе тетрацию можно назвать степенной башней, поскольку вы можете изобразить ее в виде

где башня из букв a имеет b этажей.

Давайте найдем 3 ↑ ↑ 3 и 3 ↑ ↑ 4. Это степенные башни из троек: в одной три этажа, а в другой четыре. Иными словами:

3 ↑ ↑ 3 = 3 ↑ (3 ↑ 3) = 

 = 327 = 7 625 597 484 987;

3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3))= 

 37 625 597 484 987.

Двойная стрелка позволяет нам одним прыжком переместиться от числа 3 до 7,6 трлн. Неплохое достижение. Однако нотация Кнута позволяет гораздо больше. Достаточно использовать тройную стрелку, считая ее повторением операции двойной стрелки:

Логика тут та же самая, но теперь к числу a мы b раз применяем операцию двойной стрелки. Тройная стрелка — это очень мощная штука. Попробуем найти 3 ↑ ↑ ↑ 3. Поскольку для тройной стрелки нужно несколько раз повторять операцию двойной стрелки, то мы получаем

3 ↑ ↑↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) = 3 ↑ ↑ 7 625 597 484 987.

Да уж. Мы пришли к числу 3 ↑ ↑ 7,6 трлн. Это башня

в которой 7,6 трлн этажей! Представьте, что мы выписываем ее полностью: если каждая тройка будет иметь высоту два сантиметра, башня растянется до Солнца. Поэтому данное число иногда называют солнечной башней. Честно говоря, я боюсь его вычислять.

Но мы не собираемся на этом останавливаться.

Как насчет 3 ↑ ↑ ↑ ↑3? От этого реально сойти с ума. Если вы начнете вычислять, вы получите

Мы боялись вычислить даже солнечную башню, а теперь приходится иметь дело с солнечной башней двойных стрелок! Честно говоря, это уже просто неприлично. Гугол и гуголплекс давно за спиной. У нас нет ничего, что имело бы такой размер. Нужно признать, что мы вышли за рамки физической реальности. Но мы все еще и близко не подобрались к числу Грэма.

Выбора нет — надо продолжать.

В этом месте Грэм вводит понятие лестницы. Каждая ступенька — это число, которое намного больше всего предыдущего. Нижняя ступенька лестницы Грэма обычно называется g1, и это то самое монструозное число, с которым мы только что встретились:

g1 = 3 ↑ ↑↑ ↑ 3.

Шагаем на следующую ступеньку и внезапно обнаруживаем, что мы поднялись на

Посмотрите, сколько стрелок: их g1! Четырех уже было достаточно, чтобы породить чудовищное число, а теперь чудовищным стало количество стрелок. Монстр из монстров. Но мы все еще далеко от числа Грэма.

Сделаем еще один шаг по лестнице:

Нет смысла даже пытаться описать, насколько велико это число. Слова слишком сильно отстали от математики. Но надеюсь, вы видите закономерность: с каждой новой ступенькой на лестнице Грэма количество стрелок неимоверно увеличивается. Воздействие на само число вообще непостижимо. Итак, продолжаем подниматься: от g3 к g4, от g4 к g5 и т. д. К тому времени, когда мы достигнем шестьдесят четвертой ступеньки, мы окажемся далеко, далеко, далеко, далеко в стране больших чисел и не сможем понять, где мы. Зато мы наконец пришли к цели: g64 — это и есть число Грэма.

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g64? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что