Флатландия. Сферландия - Эдвин Эбботт

— Разумеется, ровно 360° не удается получить никогда, — заметил мой спутник, — ибо любое измерение, сколь бы тщательно мы его ни производили, неизбежно содержит некую малую ошибку. Она так и называется — ошибка измерения. Поэтому и сумма пяти измеренных углов никогда не бывает в точности равна 360°: она то меньше, то больше. У опытного наблюдателя отклонения меньше, у неопытного больше, но даже тот, кто производит измерения особенно тщательно, неизбежно совершает некоторую ошибку, хотя и очень малую.

— Об этом вы могли бы и не рассказывать, — заметил я. — Что существует ошибка измерения, мне хорошо известно.

— Тогда вам должно быть понятно, — продолжил свои объяснения мой собеседник, — что в том случае, когда одно и то же измерение приходится повторять несколько раз подряд, результаты получаются разными: одни больше, другой меньше.

— Разумеется, — согласился я, — но может случиться и так, что результаты нескольких последовательных измерений одной и той же величины окажутся одинаковыми…

— А затем, — подхватил мой друг, — снова появится меньшее или большее значение. И добавил:

— До сих пор все, о чем мы с вами говорили, было понятно. Вот теперь и начинается самое удивительное. Если мы перейдем в пункт С и измерим угол между направлениями CD и СА, а затем перейдем в пункт D и измерим угол между направлениями DC и DA и, наконец, вычислим сумму всех трех измеренных нами углов треугольника ACD, то…

— У нас должно получиться 180°, — закончил я фразу. — Вычисленная нами сумма окажется не в точности равной 180°, а будет отличаться от 180° либо в большую, либо в меньшую сторону на малую величину.

— Вы правы: так должно быть, — согласился мой друг, — но так не получается. Вычисленная мной сумма всегда оказывалась больше 180°, причем отклонение было слишком велико для того, чтобы его можно было приписать ошибкам измерения.

— Следовательно, — заключил я, — обнаруженное вами отклонение обусловлено не ошибками измерения и должна существовать более глубокая причина, по которой сумма углов треугольника ACD действительно больше 180°.

Я рассуждал здраво и логически безупречно, но все же, произнеся эти слова, невольно сам испугался их. Как это может быть? Что я, собственно, утверждаю? Сумма углов треугольника больше 180°! Но такое невозможно! Что делать, как быть?!

Доктор Пункто заметил мое замешательство. Он улыбнулся и сказал:

— Всё правильно! Именно к такому выводу пришел и я. Вы рассуждаете правильно, но… может ли быть такое? Нельзя же думать, что нам впервые удалось открыть треугольник, у которого сумма углов больше 180°! Такой вывод противоречит здравому смыслу. Такой вывод противоречит основам геометрии! Однако сумма углов оказывается больше 180° не только у треугольника ACD, но и у всех треугольников триангуляционной сети. В чем здесь дело, я не знаю. Может быть, вам удастся понять, чем вызван столь необычный результат? Может быть, вы можете хотя бы подсказать, в каком направлении следует искать решение этой загадки?

— Уж не послужило ли сделанное вами открытие причиной вашей отставки? — спросил я.

— Да, меня уволили именно из-за этого, — подтвердил доктор Пункто. — Отказались верить результатам моих измерений. Потребовали объяснений. Я рассказал все, о чем знал. Меня выслушали. Я видел, что многие смотрят на меня с сочувствием: либо я мошенник, либо душевнобольной. Сумма углов треугольника равна 180° и ничему другому. Но, клянусь святой Окружностью, я и сам знал об этом не хуже их! Мои судьи сочли, что, коль скоро я способен представить такие результаты измерений, мне никак не подобает занимать пост директора Тригонометрической службы.

— Но ведь здесь нет никакой подтасовки данных! — возмутился я.

— Мне особенно приятно слышать это от вас, — с достоинством заметил доктор Пункто. — По правде говоря, ничего другого я и не ожидал. Разумеется, мне не составляло никакого труда подтасовать результаты измерений так, чтобы скрыть обнаруженную невязку, но, совершив подобный подлог, я поступил бы против собственной совести.

— Кроме того, — добавил я, — не исключено, что впоследствии другой наблюдатель обнаружил бы расхождение между 180° и суммой измеренных углов треугольника и тогда ваш обман раскрылся бы.

— Вы правы, — такая возможность существует всегда, — признал доктор Пункто. — Нет, я действительно не мог поступить иначе.

— Есть еще один выход из создавшегося положения.

— Какой? — с интересом спросил доктор Пункто.

— Заявить, что ваши измерения были произведены с малой точностью и, следовательно, полученные результаты носят лишь приближенный характер. Тогда вопрос о невязке отпадает сам собой и все данные не будут противоречить геометрии.

— Такой выход действительно возможен, но лично мне он претит. Я выполнил работу с величайшей тщательностью и представил результаты измерений, произведенных с величайшей точностью. Я не могу поступить иначе и считаю, что только так следует относиться к своим обязанностям.

— Полностью разделяю ваше мнение, — успокоил я доктора Пункто. — Я отношусь к исполнению своих обязанностей точно так же.

Наступило продолжительное молчание. Каждый из нас был погружен в свои мысли. Первым нарушил тишину я:

— Давайте подумаем над тем, что следует сделать в первую очередь. Я предлагаю как можно точнее исследовать обнаруженное явление.

Доктор Пункто с энтузиазмом воскликнул:

— Мой лучший друг! Не часто случается в жизни неожиданно обрести в зрелые годы настоящего друга. Друзьями в большинстве случаев становятся в юности, но я чувствую, что именно теперь у меня появился настоящий друг. Позвольте мне называть вас своим другом. Мой лучший друг! Не могу выразить, как я благодарен вам за ваше предложение, за вашу готовность помочь мне, за ваше согласие посвятить свое время и свой разум решению проблемы, затронувшей лично меня.

— Эта проблема затрагивает не только вас, — возразил я. — Речь идет о научной проблеме из области геометрии, которая меня чрезвычайно заинтересовала. Я охотно присоединяюсь к вам. Как два друга, мы совместными усилиями постараемся решить проблему, с которой вы столкнулись, или по крайней мере по возможности ясно и кратко изложим основные этапы своих поисков, чтобы впоследствии кто-нибудь мог воспользоваться нашими результатами.

— Позиция, достойная подлинного ученого! — одобрил мою речь доктор Пункто. — Вперед, за работу!

— Прежде всего, — попросил я, — объясните, почему обнаруженную вами невязку не замечали раньше. Относите ли вы это за счет погрешностей в прежних методах измерений или усматриваете причину в чем-то ином?

— Ответить на ваш вопрос очень просто. Существующие ныне методы измерений и новейшие приборы позволяют достичь большей точности, но нельзя отрицать и другое: отклонения суммы измеренных углов треугольника от 180° столь велики, что их вполне можно было обнаружить и раньше.

— А как, по-вашему, почему столь интересное явление все же оставалось незамеченным? Может быть,