Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

бесконечность было трудно осознать, а теперь мы имеем дело с бесконечностями за пределами бесконечного, с чудовищными алефами и могучими омегами. Вот небольшая таблица, которая поможет вам собраться с мыслями.

Бесконечности Георга Кантора

Итак, Кантор вышел за пределы

к более высоким уровням бесконечности, новым небесам и новым богам. Но в то время мало кто верил в его небесные искания. Наоборот, он был в аду, — по крайней мере, так считал математик Леопольд Кронекер. В середине XIX века Берлин стал центром математического мира, а Кронекер был одним из самых влиятельных университетских профессоров. Он был блестящим, но консервативным ученым. Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человеческих». Его ужасали иррациональные числа. Конечно, он понимал стоящую за ними математику, но не видел им места в мире природы. Они были «делом рук человеческих», фантазией нетребовательных шарлатанов вроде Кантора. Кронекер был наставником Кантора, его учителем и другом. Но когда Кантор переехал из Берлина на юг, в университет Галле, он избавился от консерватизма своего учителя. Он вышел за пределы целых чисел, в сторону континуума и новых уровней бесконечности, которые таятся в нем. Кронекеру это не нравилось.

Математики стали воевать друг с другом, и вскоре вражда стала личной. Кронекер регулярно оскорблял Кантора и мешал публикации его работ в серьезных журналах. Неважно, что идеи Кантора были обоснованными и замечательными, — у Кронекера имелось преимущество в положении: он работал в Берлине, а Кантор был профессором второстепенного университета. Больше всего Кантора терзало чувство несправедливости. Он понимал, что заслуживает большего, что его способности дают право на профессорскую должность в Берлине, но он также осознавал, что из-за пагубного влияния Кронекера этого никогда не произойдет.

По мере того как атаки продолжались, Кантор отчаивался все сильнее. В несуразной попытке нанести ответный удар он подал заявление на профессуру в Берлине. Хотя ученый знал, что у него нет шансов на успех, он был уверен, что обидит Кронекера, и этого было достаточно. Он сказал шведскому математику Гесте Миттаг-Леффлеру: «Я точно знал, что Кронекер вспыхнет, как ужаленный скорпионом, и со своими резервными войсками поднимет такой вой, что Берлин решит, будто его перетащили в африканские песчаные пустыни с их львами, тиграми и гиенами».

Друзей у Кантора было немного из-за угрюмого и взрывного характера, Миттаг-Леффлер стал одним из них. Годом ранее, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica, предоставив Кантору безопасное место для публикации его работ — вдали от интриг Кронекера. Когда Кронекер узнал об этом, он нашел способ отомстить бывшему ученику. Он написал шведу, спрашивая, может ли тот опубликовать в новом журнале статью Кронекера. Прослышавший об этом Кантор почувствовал очередную атаку: раз Кронекер надеется публиковаться в Acta, то только для того, чтобы дискредитировать его труды. Кантор отреагировал характерной вспышкой, написав Миттаг-Леффлеру гневное письмо, где грозил больше не посылать ему свои статьи. Отношения между Кантором и его другом испортились. Возможно, именно на это и рассчитывал Кронекер: он вовсе не собирался посылать свою статью в журнал Миттаг-Леффлера[160].

После этого у Кантора случился первый нервный срыв. Проблемы с психикой были неизбежны даже в обычной спокойной жизни. А ведь она была не такой. Его жизнь полнилась напряженной работой и сражениями с Кронекером. Позже математика постигла еще и личная трагедия: его младший сын Рудольф внезапно умер в 1899 году, когда Кантор уехал читать лекцию в Лейпциг.

Кантор достиг небес, бесконечности и ходил среди алефов и омег. Будучи глубоко религиозным человеком, он верил, что им руководит Бог. Его определенно вели числа, все числа, — континуум. Именно здесь, в этом небесном царстве, Кантор впервые заглянул за пределы

. Он понимал, что континуум дает большую бесконечность — больше, чем , но что это за бесконечность? Это или нечто еще большее?

Всякий раз, когда у нас есть какое-то множество, будь то четыре всадника Апокалипсиса или множество натуральных чисел, мы можем говорить о том, что называется степенью множества, или булеаном. Это просто множество всех подмножеств для исходного множества. Например, рассмотрим множество из трех мушкетеров {Атос, Портос, Арамис}. У него в общей сложности восемь различных подмножеств. Это пустое множество

{},

подмножества из одного мушкетера:

{Атос},

{Портос},

{Арамис},

подмножества из двух мушкетеров:

{Атос, Портос},

{Портос, Арамис},

{Арамис, Атос}

и, конечно, подмножество из всех трех мушкетеров:

{Атос, Портос, Арамис}.

Вместе эти восемь различных подмножеств образуют множество всех подмножеств для множества из трех мушкетеров. Возможно, вы заметили, что размер множества мушкетеров равен 3, а множество всех его подмножеств имеет гораздо больший размер, 8 = 23. Это не случайное совпадение. Каждое подмножество либо включает Атоса, либо нет; либо включает Портоса, либо нет; либо включает Арамиса, либо нет. Получаем 2 × 2 × 2 = 8 вариантов. Та же логика говорит, что для 20 команд английской Премьер-лиги во множестве всех подмножеств будет 220 элементов.

То же правило применяется и к бесконечным множествам. Мы знаем, что мощность множества натуральных чисел равна

. Какую мощность имеет его булеан? Это просто множество его подмножеств, то есть пустое множество

{},

подмножества из одного числа:

{0},

{1},

{2},

…

подмножества из двух чисел:

{0, 1},

{0, 2},

{1, 2},

…

И так далее. Мощность этого множества равна

Это невообразимо много. Как доказал Кантор, это определенно больше, чем , и так уж получилось, что это мощность континуума. Чтобы увидеть это, запишем какое-нибудь вещественное число в двоичном виде. Это просто набор нулей и единиц в определенном порядке. Например,

будет записано в виде 0,101. Если мы хотим пробежать по всем различным способам, то у нас есть два варианта для первой цифры, два для второй, два для третьей и так далее до бесконечности. В конце мы получим такое общее количество различных способов:

Кантор предположил, что континуум должен быть следующим алефом в списке. Другими словами, он счел, что