Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Исидорович Перельман

– живые счетные машины. Если бы не это, то следовало бы, безусловно, отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по 12-ричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 – четыре. Преимущества 12-ричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6: подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3, и 1/4 и 1/6 его должны быть целыми числами. А если выраженное в 12-ричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, т. е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в 12-ричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби:

1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144,

которые соответственно изобразятся так:

0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1: 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.

При таких очевидных преимуществах 12-ричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на 12-ричную систему[21]. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собою длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых феноменов. Зато его соседка – «чертова дюжина», 13

, фигурирует здесь не потому, что она чем-либо замечательна, а потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь «страшным» для суеверных людей?

В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами

число 365

Оно замечательно не только тем, что определяет число дней в году. Прежде всего, оно при делении на 7 дает в остатке 1. Эта, казалось бы, несущественная особенность числа 365

имеет большое значение при календарных расчетах: от нее зависит то, что каждый простой (не високосный) год кончается тем днем недели, каким он начался; если, например, день нового года был понедельник, то и последний день года будет понедельник, а следующий год начнется со вторника. По той же причине – благодаря остатку 1 от деления 365 на 7 – было бы нетрудно так реформировать наш календарь, чтобы определенная календарная дата всегда приходилась на один и тот же день недели – например, чтобы 1-го мая каждый год было воскресенье. Для этого достаточно было бы лишь первый день года не вводить в счет числа дней, называть его не «1 января», а просто «новый год»; 1-е января будет уже следующий день. Тогда остальное число дней года, 364, будет заключать целое число недель; следовательно, весь ряд дальнейших лет будет начинаться тем же днем недели, и все даты из года в год будут повторяться в одни и те же дни. В годы високосные, заключающие 366 дней, надо будет первые два дня года поставить вне счета, как праздничные.

Другая особенность числа 365, уже не связанная с календарем, тоже весьма любопытна:

365= 10 × 10+ 11 × 11 + 12 × 12.

То есть, оно равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с десяти:

102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.

Но и это еще не все: оно же равно сумме квадратов двух следующих чисел – 13 и 14:

132 + 142= 169 + 196 = 365.

Таких чисел не много наберется в нашей арифметической кунсткамере.

Три девятки

В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999

. Оно гораздо удивительнее, чем его перевернутое изображение – 666 – знаменитое «звериное число» Апокалипсиса, вселяющее такой страх в суеверных людей, но по арифметическим свойствам ничем не выделяющееся среди остальных чисел.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение, первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а последние три цифры – дополнения первых до 9. Например:

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

Отсюда вытекает весьма простой прием «мгновенного» умножения любого трехзначного числа на 999:

847 × 999 = 846153; 509 × 999 = 508491; 981 × 999 = 980019 и т. п.

А так как 999 = 9 × 111 = 3 × 3 × 3 × 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37, – чего не знакомый со свойствами числа 999, конечно, не в состоянии сделать. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» не хуже иного фокусника.

Число Шехеразады

Следующим на очереди у нас 1001

, прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками. Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых простых чисел: через